数制转换

数制转换

数制的本质

想要弄清楚这些进制很简单,十进制各位都很熟悉,那先从十进制入手。

十进制计数规则是:

  • 基数为10。
  • 有10个数字,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
  • 逢10进1,借1当10。

那么,二进制计数规则就是:

  • 基数为2。
  • 有2个数字,即0和1。
  • 逢2进1,借1当2。

十进制可以有多位组成,从右向左依次为个位、十位、百位、千位、万位…

于此类似,那么二进制也可以由多位数组成,从右向左分别为1位、2位、4位、8位、16位…

为什么称二进制的位数为1位、2位、4位…

其实这是从十进制的角度看二进制各位数得出的名称。

看上表,当二进制产生进位时,代表的十进制数为2、4、8、16、32、64、128…

二进制虽然只有0和1两个数字,但是由于数字所处的位置不同,表示的数据也不同,例如:

二进制数 “1011”

这个二进制数共有4位,由3个1和1个0组成,比如数字1所处位置不同,所代表的大小也不同,其所处位置称作权。从右向左顺序各个位表示十进制的含义:

第一个1表示:1的个数

第二个1表示:2的个数

第三个0表示:4的个数

第四个1表示:8的个数

(在此可以类比十进制1011,由1个1000,0个100,1个10,1个1组成。)

所以,二进制数s1011由1个8,0个4,1个2,1个1组成。按各位的权列出:

按这种权展开式可以很方便将二进制转换为十进制。

相应的,十进制转换成二进制整数就通常采用“除2取余,逆序排列”的方法。具体做法是用2整除十进制整数,可以得到一个商和余数,再用2去除商,又会得到一个商和余数,如此反复,直到商为0停止。再把先得到的余数作为二进制低位有效位,后得到的余数作为二进制高位有效位,依次排列。

举个例子:

将十进制“11”转换为二进制。

将十进制11转换为二进制数为1011。

和十进制相比,二进制的运算规则也就简单多了。

加法

二进制运算只会有以下4种可能

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

(逢二进一)

对于多位数二进制相加,考虑进位采用“逢2进1”的方式,例如十进制25(二进制11001)加上十进制27(二进制11011):

减法

也只有4种可能:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=1

(借一当二)

乘法

十进制可以按照九九乘法表运算,二进制乘法规则就简单多了,也有4种情况:

二进制乘法也可以很简单转换为加法运算,例如十进制25(二进制11001)乘以十进制5(二进制101)。

除法

除法是乘法的逆运算,二进制乘法有4种,除法也是应该对应4种,考虑0作为除数是没有意义的。所以除法有以下两种:

0÷1=0

例如十进制25(二进制11001)除以十进制5(二进制101)。

比较复杂的乘法和除法运算都能简单的转换为加、减和位移操作,所以一般计算机也只需要设计一个加法器即可。

二进制弄清楚了,八进制也就很好懂了。

其实很早,古人就明白了八进制的概念,比如八卦…

八卦最初就是古人的记事符号,只是后来作为占卜工具被打上封建迷信的标志。

其中隐含着二进制和八进制的概念。

八卦的基本元素就是阴和阳,相当于二进制中的0和1。

下图中用长实线代表“阳”,用中间断开的线代表“阴”,然后由3种这样的线条组成8种形状,相当于3位二进制数表示8种状态。

当然,八进制计数不可能用八卦表示,通常采用0-7的阿拉伯数字表示

八进制的计数规则:

  • 基数为8。
  • 由8个数字组成,分别是0、1、2、3、4、5、6、7。
  • 逢8进1,借1当8。

十六进制,在古代中国当时使用的重量单位就是十六进制,16两为1斤,就有了所谓的“半斤八两”。

同样十六进制的计数规则为:

  • 基数为16。
  • 由16个数字符号组成,分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。
  • 逢16进1,借1当16。

进制记法

进制记法简写
2BinaryB
8OctalO
10DecimalD或不加
16HexadecimalH

各进制转十进制的转换(通法)

前面二进制和十进制相互转换的方法,同样适用于其他进制的数转换为十进制。

按权展开”是其他进制转换为十进制的通法

(B表示各进制的基数,n表示位数):

例如十六进制数BC0D转换为十进制:

“除基数B取余,逆序排列”方法可以将十进制数转换为任意进制数。

二进制和八进制、十六进制数的转换的简单的方法

二进制转换为八进制,采用“3位并1位”,按从右向左方向,每3位二进制位一组,最高位不足3位,添0补足3位,然后将各组3位二进制数加权展开,得到八进制数。

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